А.В.Шаповалов => Книги и брошюры => Школьные математические кружки

Арифметические задачи

Автор: Чулков П. В.

Издание: 4-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-0138-1
Год издания: 2014
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 64 стр.
Размер: 140x200/3

Третья брошюра серии ШКОЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КРУЖКИ посвящена текстовым задачам, решаемым «арифметическим» способом. В ней приведены шесть занятий, в которых подобраны задачи, ориентированные в основном на работу со школьниками 5–6 классов. Все приведенные сюжетные задачи решаются путем прямых рассуждений, вытекающих из анализа конкретной ситуации. Конечно, большинство из них можно решить «алгебраически» (с помощью уравнений), но на начальном этапе обучения овладение арифметическим методом представляется очень важным для развития логического мышления школьников, для приобретения ими навыков анализа текста и умений рассуждать и делать правильные выводы. Надеемся, что книжка будет интересна учителям математики, руководителям математических кружков, студентам педагогических вузов и всем, кто занимается со школьниками.
Предыдущее издание книги вышло в 2012 году.

Скачать Демо-версию книги (pdf)

Купить электронную версию книги на litres.ru

ЛИСТКИ

1. Знакомство с арифметическим методом
2. Задачи на проценты
3. Бассейны, работа и прочее
4. «Увидеть» движение
5. Путь, скорость, время
6. Движение по реке


Предисловие

1. Арифметические задачи – традиционное название сюжетных задач, решаемых без составления уравнений, путем прямых рассуждений, вытекающих из анализа конкретной ситуации (такой метод решения называют «арифметическим»). Конечно, большинство сюжетных задач можно решить «алгебраически» (с помощью уравнений), но на начальном этапе обучения арифметический метод полезней.

Дело в том, что арифметический метод лучше приспособлен к стилю мышления большинства учащихся 5-6 классов: все проводимые рассуждения «предполагают совершенно наглядное и конкретное, осмысленное в области тех величин, о которых идет речь, истолкование»[1].

Последнее особенно важно, ведь школьники, как правило, не слишком хорошо разбираются в процессах, лежащих в основе сюжетов задач (движение, работа, производительность труда).

Таким образом, арифметический метод прямо требует от ученика построения наглядной модели, что важно при дальнейшем обучении: опыт показывает, что лучше составляют уравнения те учащиеся, которые хорошо умеют решать задачи арифметически!

2. В брошюре представлены материалы шести занятий, а также раздел Дополнительные задачи.

Задачи предназначены для учащихся 5-6 классов, решения к задачам по возможности «ориентированы» на пятиклассников и не требуют сведений, выходящих за пределы школьной программы. Ко всем задачам предложены решения, к некоторым - указания и комментарии для учителя. В качестве эпиграфов к занятиям используются задачи-шутки, обсуждение которых поможет поднять настроение учащимся и, возможно, избежать некоторых типичных ошибок.

Занятие первое: знакомство с арифметическим методом.

Представлены примеры задач, решаемых арифметическим методом. В решениях отрабатывается использование словесных конструкций: «предположим, что…», «если…, то…», «пусть…», а также запись решения «по вопросам». Желательно проверять удовлетворяет ли ответ условию задачи, используя при этом простейшие рисунки.

Занятия второе: задачи на проценты. 

Это одна из самых трудных тем школьного курса, к которой необходимо возвращаться многократно. При решении задач на проценты важно осознавать, что именно принято за 100%, понимать, что «увеличить число на 32%» означает «умножить его на 1,32, а «уменьшить на 32%» -  «умножить на 0,68». Поясним сказанное. Пусть дано некоторое число. Разрежем его на 100 равных частей. Уменьшить на 32% – значит, убрать 32 части. Останется 68 частей. Но того же результата можно достичь, умножая на 0,68  – ведь тоже останется только 68 частей из 100!

Занятие третье: бассейны, работа и прочее.

Нередко учащиеся не видят за разными сюжетами этих задач общей математической основы, поскольку плохо представляют, что происходит при том или ином процессе. Задача преподавателя - помочь школьникам разобраться в этом.

Занятие четвертое: «увидеть» движение!

При решении задач на движение полезно использовать рисунки, на которых фиксируются те или иные «ключевые» моменты условия задачи.

Примеры таких рисунков представлены в материалах данного занятия. Такая наглядная основа позволяет существенно облегчает нахождение решения.

Занятие пятое: путь, скорость, время.

Цель занятия – потренироваться в решении задач на движение, показать связь задач на движение с другими типами арифметических задач (совместная работа и другие непрерывные процессы), выявить взаимосвязи между основными параметрами движения (путь, скорость, время). Среди прочих приведены задачи, использующие понятие «средней скорости».

Занятие шестое: движение по реке.

Рассмотрены задачи на движение по реке и другие аналогичные задачи. При их решении используется идея «сложения скоростей», а также идея разумного выбора «системы отсчета».

Приняты следующие соглашения:

1) Если тело движется «по течению», то его скорость складывается из скорости тела в стоячей воде v и скорости течения реки u: w=v+u. .

2)  Если тело движется «против течения», то его скорость считается равной w=v-u..

3) Плоты движутся со скоростью течения реки.

Дополнительные задачи: представлены задачи, предназначенные для самостоятельной работы учащихся и организации математических соревнований.  Кроме приведенных задач, учителю могут понадобиться их вариации, то есть задачи с изменёнными цифрами и наименованиями, но математически равносильные (например, задача 6.8 является вариацией задачи 6.3). Мы, как правило, вариаций не приводим, считая, что учитель сможет их создать самостоятельно. 

Такие задачи можно найти в популярной литературе.

3. Об организации занятий кружка. Один из возможных вариантов построения кружкового занятия следующий: каждое занятие рассчитано примерно на 1 ч 30 мин с небольшим перерывом и состоит из двух частей:

·         разбор нового материала. Задачи предлагаются учащимся по одной. После того, как задача решена кем-нибудь из учащихся, происходит коллективное обсуждение;

·         работа с «задачами для самостоятельного решения» происходит либо в режиме «устной олимпиады», когда учащиеся рассказывают преподавателю решения «устно» или в режиме «математической регаты», когда решения излагаются письменно, и после того как собраны решения очередной задачи, преподаватель рассказывает решения учащимся.

И в том и в другом случае желательно наличие помощников (учащихся старших классов или студентов).

4. Обсуждение задач. Важный этап работы с задачами обсуждение решений задач с участниками кружка. Рассмотрим пример такого обсуждения.

Задача. Пешком или на автобусе? Если Аня идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то на дорогу она тратит полтора часа. Если она едет в оба конца на автобусе, то весь путь занимает у нее тридцать минут. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она идет пешком?

Ответ: 2 часа 30 минут.

Решение. Решаем «с вопросами»:

1) Сколько времени тратит Аня на дорогу «в один конец», если едет на автобусе? 30 мин: 2 = 15 мин.

2) Сколько времени тратит Аня на дорогу «в один конец», если идет пешком? 1 ч 30 мин – 15 мин = 1 ч 15 мин.

3) Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она идет пешком? 1 ч 15 мин · 2 = 2 ч 30 мин

Эта задача – хороший повод для обсуждения со школьниками, какие предположения и упрощения мы делаем, чтобы перевести житейскую ситуацию на язык математики, и в какой мере такие предположения оправданы.

Ниже приведен примерный вариант обсуждения. Вопросы, скорее всего, придется ставить учителю. Ответы лучше не давать школьникам в готовом виде, а подводить к ним.

Учитель. Постараемся выявить те условия, которые в задачи прямо не описаны, но подразумеваются.

Ответ. Мы предположили, что дорога «туда» пешком занимает столько же времени, сколько дорога пешком «обратно». (То же, если Аня ехала «туда» и «обратно» на автобусе).

Учитель. В каком случае такое предположение оправдано?

Ответ. Если путь и средняя скорость «туда» и «обратно» соответственно равны, то одинаково и время. Для ходьбы пешком это обычно так, когда нет дополнительных указаний типа «дорога в гору» и «дорога под гору». Если ехать на автобусе, то ответ может зависеть от того, включаем ли мы в него, время затраченное, например, на ожидание автобуса. В данном случае можно, вероятно,  предположить, что, время, потраченное на ожидание автобуса при дороге «туда» и «обратно» одно и тоже и им можно пренебречь.

Учитель. Что еще может влиять на несовпадение времен?

Ответ.   Ходьба не влияет, если остановки «туда» и «обратно» расположены недалеко друг от друга. Езда на автобусе может дать разницу, если пути туда и обратно разные или если средние скорости автобуса туда и обратно не одинаковы (скажем, в школу едут в час пик, много пробок).

Учитель.  Что же в итоге?

Ответ. Можно предположить, что туда и обратно Аня едет по одному и тому же маршруту, и время ожидания автобуса в дорогу не включается.

В комментариях, приложенных к решениям некоторых задач, имеются на вопросы, которые возможно стоит обсудить с учащимися. Предложенные указания являются примерные.

Учитель, на основе собственного опыта, может внести в них необходимые изменения. Автор заранее благодарен за любые замечания и рекомендации.

В заключение: автор выражает признательность А.Д. Блинкову, Ф.А. Пчелинцеву, А.В. Шаповалову, А.В. Шевкину, прочитавшим рукопись, чьи замечания существенно способствовали ее улучшению.



[1] И.В. Арнольд [3].  Смотри также [8],  [14],  [15] в списке литературы.


Список литературы

1.      Абдрашитов Б.М., Абдрашитов Т.М., Шлихунов В.Н. Учитесь мыслить нестандартно. - М.: Просвещение, 1996.

2.      Акулич И.Ф. Задачи на засыпку и другие математические сюрпризы. 2-е изд. - Мн.: ООО «Асар», 2001.

3.      Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач. - М.: МЦНМО, 2008.

4.      Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. - М.: Наука, 1975.

5.      Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. - М.: Гуманит. изд. центр «Владос», 1999.

6.      Горячев Д., Воронец А. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

7.      Грицаенко Н.П. Ну-ка реши! - М.: Просвещение, 1998.

8.      Козлова Е. Г.. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). 4-е изд., стереотипное. - М.: МЦНМО, 2008.

9.      Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. - М.: Дрофа, 2006.

10.  Нестеренко Ю.В. Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи на смекалку. - М.: Дрофа, 2003.

11.  Савин А.П. Занимательные математические задачи.  - М.: АСТ, 1995.

12.  Романовский В.И. Арифметика помогает алгебре. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

13.  Спивак А.В. Тысяча и одна задача. - М.: Просвещение, 2003.

14.  Формирование приемов математического мышления. Под. ред. Н.Ф. Талызиной. - М.: Вентана-Граф, 1995.

15.  Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. - М.: Русское слово, 2003.

16.  Шевкин А.В. Сборник задач по математике для учащихся 5-6 классов. - М.: Русское слово, 2003.