А.В.Шаповалов => Книги и брошюры => Школьные математические кружки

Длина, площадь, объём

Авторы: Мерзон Г.А., Ященко И.В.

Издание: 4-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-94057-0665-2
Год издания: 2016
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 48 стр.
Размер: 145x205/3

Шестая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена различным подходам к сравнению и вычислению площадей и объемов и предназначена для занятий со школьниками 6-11 классов. В нее вошли разработки четырех занятий математического кружка, в каждом из которых подробно разобраны задачи различной сложности и даны методические указания для учителя. Приведен также список дополнительных задач. В приложении имеются различные варианты раздаточного материала. Брошюра адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики. Первое издание книги вышло в 2011 году.

Скачать книгу (pdf)

ЛИСТКИ

1. Площади и объёмы на клетчатой бумаге
2. Масштаб и объём
3. Площадь поверхности
4. Объём конуса


Предисловие

Брошюра посвящена ряду вопросов, связанных с вычислениями площадей и объемов.

Основной текст брошюры состоит из четырех занятий.

Чувство размерности — понимание того, как меняются те или иные числовые характеристики (объемы и площади фигур и т. п.) при пропорциональном изменении размеров, желательно начать развивать до того, как ребенок научится вычислять их по известным заранее формулам, не задумываясь о сути происходящего. Эту задачу и старается решить первая часть брошюры: в первом занятии обсуждается, как изменяются площади при масштабировании, во втором — эффекты сочетания разных размерностей в одной задаче. Эти занятия рассчитаны на школьников 6–8 классов.

Соображений размерности достаточно, чтобы понять, как зависит, например, объем шара от его радиуса. Но для точного вычисления этого объема таких соображений недостаточно. Помогает здесь идея послойного рассмотрения объемной картинки — а точнее, принцип Кавальери. В третьем занятии мы знакомимся с принципом Кавальери для фигур, составленных из кубиков, когда он особенно нагляден. Вычисление объемов таких фигур позволяет нам найти суммы 1+· · ·+n и 1+· · ·+n2. Это занятие (исключая самый конец) доступно школьникам начиная с 7 класса.

В четвертом занятии при помощи принципа Кавальери вычисляются объемы конуса и шара. В конце занятия приводятся вычисления площадей круга и сферы. Это занятие рассчитано на школьников начиная с 8-9 класса, но может быть использовано и в 10-11 классе как дополнительный материал к курсу стереометрии.

Мы подходим к площадям и объемам неформально, но на определенном этапе полезно познакомиться и с аксиоматическим определением площади. Оно приводится в приложении A.

Различные варианты заданий кружка (вместе с дополнительными задачами – среди которых есть как задачи на повторение, так и задачи повышенной сложности) приведены в приложении B.

Авторы благодарны А. В. Шаповалову, взявшему на себя труд по рецензированию брошюры и не только указавшему авторам на ряд неудачных мест, но и предложившему для неё несколько задач, а также М. А. Берштейну, А. Д. Блинкову и Т. И. Голенищевой-Кутузовой за полезные обсуждения. Авторы будут признательны читателям за сообщения об ошибках и опечатках (например, на e-mail: ).


Список литературы

[1] И. В. Артамкин, А. Л. Городенцев, А. Г. Кулаков, М. А. Прохоров, С. М. Хорошкин, А. В.Хохлов. Числа и суммы. Математическое образование, № 2–3 (9–10), апрель–сентябрь 1999, с. 2–57.

[2] Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. М.-Л., ГТТИ, 1950.
В главе 11 обсуждаются задачи на размерность в духе первых двух занятий брошюры.

[3] Д. Б. Фукс. Можно ли из тетраэдра сделать куб? Квант, 1990, №11.
Популярно рассказывается про инвариант Дена (причину, по которой в определение объема многогранника необходимо включать принцип Кавальери или эквивалентную ему аксиому).

[4] И. В. Ященко. Парадоксы теории множеств. М.: МЦНМО, 2002.
Можно узнать, почему нельзя определить площадь для всех плоских фигур.

Оглавление

Предисловие 3

Занятие 1. Масштаб и объём 5

Занятие 2. Площадь поверхности 11

Занятие 3. Площади и суммы 18

Занятие 4. Принцип Кавальери 26
Площадь круга и сферы 32

Приложение A. Определения площади и объёма 34

Приложение B. Раздаточный материал. 36
B.1. Одно занятие про размерность 37
B.2. Два занятия про размерность 40
B.3. Занятие про площади и суммы 43
B.4. Занятие по принципу Кавальери 45

Литература 47