А.В.Шаповалов => Книги и брошюры => Школьные математические кружки 

Делимость и простые числа

Автор: Сгибнев А. И.

Издание: 2-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-0079-7
Год издания: 2013
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 112 стр.
Размер: 145x200/7

Восьмая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена основным понятиям и фактам, которые связаны с делимостью целых чисел: признакам делимости, простым и составным числам, алгоритму Евклида, основной теореме арифметике и т. п. Она предназначена для занятий со школьниками 7–9 классов. В книжку вошли разработки восьми занятий математического кружка с подробно изложенным теоретическим материалом, примерами задач различного уровня трудности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Ко всем задачам каждого занятия приведены подробные решения. Кроме того, в приложениях сформулированы две ещё не решённые проблемы из этого раздела математики, а также приведены примеры исследовательских задач.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной математики.
Первое издание книжки вышло в 2012 году.


Скачать Демо-версию книги (pdf)

Купить электронную версию книги на litres.ru


ЛИСТКИ

1. Делимость чисел
2. Признаки делимости
3. Деление с остатком
4. Простые числа
5. Общие делители и общие кратные. Алгоритм Евклида
6. Уравнения в целых числах
7. Теорема о простом делителе
8. Каноническое разложение. Основная теорема арифметики


Предисловие

При изложении курса «Делимость чисел и простые числа» есть два основных подхода. Первый ставит во главу угла логику изложения: все утверждения доказываются, а недоказанные не используются. См., например, [1]. Второй делает упор на задачах: основная теорема арифметики формулируется сразу и без доказательства, что позволяет не заниматься теоретическими тонкостями, а сразу же решать содержательные задачи. См., например, [5].
Я попытался пойти средним путём. Мне кажется принципиально важным в математическом курсе доказывать (раньше или позже) все утверждения. Однако без задачного подкрепления доказательства теорем часто превращаются в формальные тексты. Например, чего стоит для восьмиклассника данное без подготовки утверждение:
«Для любых взаимно простых a и b найдутся такие x и y, что ax + by = 1»!
Поэтому этапы доказательств растянулись на несколько занятий, в которых используемые идеи и конструкции мотивируются и используются в задачах. Кроме того, иногда я позволял себе брать утверждения «взаймы», жертвуя последовательностью изложения ради его живости. (А именно, в занятии 2 формулируется теорема о взаимно простых делителях, которая используется при решении задач на признаки делимости; в занятии 6 приводится теорема о сокращении простого множителя, нужная для решения неоднородных диофантовых уравнений.)
В результате (как я надеюсь) этапы доказательств стали доступны, а по ходу решаются интересные задачи. Правда, в ходе «размазывания» этапов затемнилась логическая структура доказательства основной теоремы арифметики. Приведём краткую схему для учителя и подготовленного ученика:
1. Вводится понятие простого числа и доказывается, что любое число раскладывается на простые множители; при этом вопрос однозначности не изучается (занятие 4).
2. Вводится алгоритм Евклида (занятие 5).
3. С помощью алгоритма Евклида доказывается основная лемма (занятие 6).
4. Из основной леммы выводится теорема о простом делителе (занятие 7).
5. Из теоремы о простом делителе выводится однозначность разложения на простые множители (занятие 8).
Также в занятии 6 из основной леммы выводятся теоремы о взаимно простых делителях и о сокращении множителя (но в минимальной логической схеме они необязательны).
Теоремам о делимости даны названия, чтобы школьникам было легче «узнавать их в лицо».
При решении задач из первых занятий у школьников, возможно, будет возникать соблазн ссылаться на ещё не доказанные свойства простых чисел, однозначность разложения на простые множители и т. д. Однако все задачи можно решить, опираясь на доказанный материал в рамках того занятия, на котором они даются. Полезно требовать от школьников делать это, приучая их к «чистоте» решения.
Подавляющее большинство задач не придумано автором, а взято из литературы (зачастую с некоторыми изменениями в формулировках). Книга [1] повлияла на логическую структуру курса (доказательство основной теоремы арифметики). Книга [2] дала многие идеи задач и задачных циклов. Из книги [3] взято много ярких формулировок (особенно задач на диофантовы уравнения).
Автор благодарен А. Д. Блинкову, И. Б. Писаренко и своим ученикам. Особенную признательность автор выражает А. В. Шаповалову, помощь которого заметно превышала обычные для редактора рамки.
Просьба присылать отзывы и замечания на .


Занятия 1–4 ориентированы на 7–8 класс, занятия 5–7 — на 8–9 класс. Наиболее важные задачи помечены знаком «+», наиболее сложные задачи — знаком «*». Если не оговорено противное, под «числами» понимаются «целые числа».

Список литературы

1. В. Г. Болтянский, Г. Г. Левитас. Делимость чисел и простые числа. // В книге: Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7–8 классов. М.: Просвещение, 1974.
2. Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер, Ж.М. Раббот, А. Л. Тоом. Заочные математические олимпиады. — М.: Наука, 1986.
3. Н. Н. Воробьёв. Признаки делимости. — М.: Наука, 1988.
4. Е. В. Галкин. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами. Челябинск: Взгляд, 2005. 5. С. А. Генкин и др. Ленинградские математические кружки. Киров: АСА, 1994.
6. Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс «В») // Под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2000.
7. Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы (выпуск 2004 года, класс «Д») // Под ред. В. Доценко. — М.: МЦНМО, 2004.
8. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. Алгебра. 8 кл.: Задачник для кл. с углуб. изуч. математики. — М.: Мнемозина, 2002.
9. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004.
10. Московские математические регаты. Составители А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦН- МО, 2007.
11. А. В. Спивак. Арифметика. — М.: Бюро Квантум, 2007.
12. А. Шень. Простые и составные числа. М.: МЦНМО, 2005.