А.В.Шаповалов => Книги и брошюры => Школьные математические кружки

Как построить пример

Автор: Шаповалов А. В.

Издание: 3-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-0666-9
Год издания: 2016
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 80 стр.
Размер: 143x200/4

Девятая книжка серии «Школьные математические кружки» призвана научить учеников 5–7 классов строить математические примеры и конструкции. В книжку вошли разработки пяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Для удобства использования листочки занятий повторены в конце книги в виде раздаточных материалов. Ещё 50 задач с краткими решениями даны дополнительным списком. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной математики.



Скачать Демо-версию книги (архив, doc)

Купить электронную версию книги на ЛитРес


А зачем эта книга? Ответы школьникам

Здесь вам нужно будет придумывать разные конструкции и ситуации. Материал вам хорошо знаком: это не только числа, линии и фигуры, но и шашки, клетчатые доски, дни недели и годы, имена и фамилии, и даже арбуз.
Почему это интересно?
В вашем юном возрасте вы пока знаете не так много, но придумывать умеете уже хорошо. Задачи, которые вам будут предложены, проверяют и учат как раз умению придумывать. Дети их решают не хуже взрослых. Это не значит, что учиться не нужно. Но легче и интереснее изучать то, что можно сразу применить. Здесь у вас будет такая возможность. Но даже если вы что-то забыли, для придумывания это не так важно. Можно решить, применив что-то другое.
Почему это важно?
Как и всякое другое знание, математика позволяет понять, что происходит вокруг нас, помогает спланировать наши действия и предсказать результат. Чтобы понять или спланировать, мы строим в голове или на бумаге план, схему, картинку, чертеж, расписание. Обдуманный план обычно удачнее необдуманного. Создание и обдумывание плана похоже на построение модели, скажем, корабля, и проверки в ванне, поплывет он или перевернется и утонет. И пусть лучше утонет 100 моделек, чем один настоящий корабль. Понятно, что натренировавшись строить хорошие, похожие на то что нам надо планы-модели и научившись проверять их, мы станем умнее и прозорливее. Построение математических конструкций и служит такой тренировкой.
Какое это имеет отношение к математике?
Какое отношение конструкции из шашек и арбузов имеют к математике? Как правило, мы будем использовать не настоящие шашки и арбузы, а воображаемые. Это удобнее, потому что настоящих арбузов под рукой может не быть, а воображаемые всегда есть. А математика ведь как раз и работает с воображаемыми объектами. Главное – что польза от такой работы не воображаемая, а самая реальная. Кроме того, мы будем искать не какие попало конструкции, а те, которые удовлетворяют заданным условиям. А условия и будут как раз математическими. И при проверке условий нам математические знания и навыки вполне пригодятся.
Как это связано со школьной математикой?
Можно сказать, что школьная математика дает нам детали, материалы и простейшие инструменты для того, чтобы строить конструкции. Она же дает нам и простые навыки по исследованию конструкций. Только список этих конструкций обычно невелик. Так, сложению чисел обычно учатся, складывая две кучки предметов или две пачки денег, а умножению – складывая много одинаковых групп или вычисляя площадь. А здесь вы увидите, что исследование почти любой ситуации требует и сложения, и умножения.
Как это поможет при изучении традиционной математики?
Во-первых, применение математических знаний станет для вас привычным и естественным делом: вы будете плавать не как ученик в бассейне, а как дельфин в море. Во-вторых, при решении задач, не сводящихся к подстановке в одну-две стандартные формулы, или при доказательстве теорем вам придется конструировать решение из простых кусков и проверять его на правильность. Но именно умению конструировать и проверять конструкцию и учит эта книга, только на более простом материале.

Видеопредставление книги на youtube (16 мин)


ЛИСТКИ

1. Как такое может быть? Видеоурок на youtube (14 мин)    Листок
2. Ищи там, где легче. Высматривай знакомое
3. Можно или нельзя?     Листок
4. Повторяемость
5. Симметрии, сдвиги и повороты


Предисловие

Данная книга содержит пять тематических занятий математического кружка 5-7 классов. В материалы каждого занятия входят: вступительный текст учителя, подробный разбор нескольких задач по теме занятия (включающий решения и комментарии), задачи для самостоятельного решения, решения этих задач с комментариями.

Кроме того, есть раздел «Дополнительные задачи», где даны около 50 задач разной сложности на построение примеров (или невозможность построения). Наиболее сложные задачи отмечены звёздочкой *. Для удобства в конце каждого занятия приведен список задач из дополнительного раздела, а также из других занятий, которые могут быть решены с использованием методов текущего занятия. Так как большинство задач может быть решено несколькими методами, то одна и та же задача может фигурировать в нескольких списках.

В конце книги приведен раздаточный материал.

По сути, весь текст брошюры рассчитан на учителя, а не на школьника. Нормальный младшеклассник предпочитает решать и обсуждать решения, и уж вряд ли станет читать пространные рассуждения на тему «Как можно найти решение» (он скажет: а я решал по-другому). Задача учителя: включить в обсуждение то полезное, что он найдет в этих текстах.

Особенность брошюры: решения задач и пути к решению тщательно разделены. Этим автор хотел подчеркнуть, что в задачах на конструкцию готовое решение (то, что школьник в идеале должен написать) и путь к решению (пояснение, как такое придумать) обычно имеют мало общего. Соответственно, и школьников стоит научить их разделять. Такое разделение полезно, впрочем, и для остальных математических задач.

Первые 6 задач каждого занятия – это, фактически, примеры для коллективного обсуждения. Сложность их различна: первые обычно – одноходовки, последние школьники, скорее всего, решить не успеют. Но даже если школьникам самим не удаётся быстро найти нужное решение, стоит его подсказать, в любом случае – разобрать на доске и показать на его примере работу приёмов.

Задачи для самостоятельного решения учителю стоит обсуждать индивидуально со школьниками, так или иначе продвинувшимися в их решении.

Соглашение о формулировках. Если в условии требуется построить, разрезать, расставить, то поиск всех возможных вариантов не требуется (а если он нужен, это специально оговаривается).

Автор благодарен С.Р. Когаловскому, общение с которым помогли ему прийти к пониманию необходимости разделять решение и путь к решению, и Л.Э.Медникову за несколько ярких задач,  внимательное прочтение книжки и комментарии, способствовавшие существенному улучшению ее текста.

Введение

Как можно определить есть у младшего школьника творческие способности к математике или нет? Надо дать ему нестандартную задачу. Почти наверняка в ней надо придумать какую-то конструкцию. Все мы помним такие задачи с детства: про волка козу и капусту, разрежь и сложи, нарисуй, не отрывая карандаша от бумаги, расставь числа в кружочке. Оказывается, что умение придумать не слишком зависит от оценки по «обычной» школьной математике. И понятно почему: традиционная оценка прежде всего оценивает умение применять заранее выученные приёмы в более-менее стандартных ситуациях. Это похоже на открывание двери, и цель обучения часто понимается так: дать ученику связку из как можно большего числа ключей, и научить быстро выбирать нужный. Это, конечно, важный аспект обучения, но он не должен быть единственным, особенно при обучении математике.

Ведь в жизни попадаются лёгкие, но не стандартные задачи, когда надо что сделать, а готового рецепта «как сделать» нет. Ну не нашлось в связке подходящего ключа, а войти надо. Придётся что-то придумать…

Решение задач на построение примеров эту способность придумывать поддерживает и развивает.

Но ведь придумывать надо не только в математике. Придумывают учёные и поэты, шахматисты и цирковые артисты, бизнесмены и политики. Какое отношение такие задачи имеют собственно к обучению математике? Ведь главное, что отличает математику от других видов деятельности – строгий стандарт доказательств. А тут придумал пример, один из многих, и доказывать ничего не надо?! Эдак не отличишь невежду от хорошо обученного школьника…

Подобные опасения лежат в основе кружковых программ, где умение строить конструкции рассматривается как своего рода «детская болезнь», от которой надо мягко, но настойчиво лечить.

Автор с таким подходом решительно не согласен. Во-первых, в задачах на конструкции математики ничуть не меньше. Во-вторых, научный опыт автора показал, что создание конструкций при поиске доказательств в «высокой математике» требуется ничуть не меньше, чем применение теорем. В конце концов, любой доказательство само по себе является конструкцией! Наконец, большая часть школьников вовсе не станут профессиональными «чистыми» математиками. Более вероятно, что они будут применять свои знания и навыки в прикладной математике, программировании, других науках и вне науки. Так давайте учить их так, чтобы им эти навыки пригодились в любом случае.

В частности, будем учить их придумывать примеры так, чтобы изобретательность как минимум сохранялась, а строгость ей не только не мешала, но чем дальше, тем больше помогала. В решениях автор старался показать, что классические кружковые темы «Чётность», «Принцип Дирихле», «От противного», «Решение с конца» с тем же успехом работают при построении примеров, что и при доказательстве невозможности.


Авторы задач

Большинство использованных в книге задач давно и заслуженно стали математическим фольклором, или восходят к нему. Их обычно публикуют без указания авторов. Это, однако, не повод умалчивать об авторах, когда они известны. Проще всего узнать свои собственные задачи: 1.9, 1.10, 2.9, 2.10, 2.12, 2.13, 2.14, 4.1, 4.2, 4.7, 4.12, 5.2, 5.3, 5.5, 5.7, 5.8, 5.10, Д1, Д5, Д7, Д9, Д10, Д14, Д15, Д17, Д20, Д21, Д24, Д25, Д26, Д29, Д30, Д32, Д33, Д35, Д37, Д39, Д40, Д41, Д42, Д46, Д49, Д50, Д51. Других задач с известным автором немного, но зато почти все – жемчужины: Д. Ботин: 1.8; С.Г. Волченков: 4.11; Р.Г. Женодаров: Д36; А.Я. Канель-Белов: 3.4, 5.4, Д22; О.Ф. Крижановский: Д36; Л.Э. Медников: Д29; И.С. Рубанов: 5.11; С.И. Токарев: 3.10; А.К. Толпыго: Д38. Спасибо этим авторам, а также тем неизвестным, кто сочинил фольклорные жемчужины!