А.В.Шаповалов => Книги и брошюры=> Школьные математические кружки

Задачи о турнирах

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р., Шаповалов А.В.

Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-0985-1
Издание: 2-е, дополненное Год издания: 2017
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 112 стр.
Размер: 143x197/5

Десятая книжка из серии «Школьные математические кружки» посвящена задачам о спортивных турнирах и ориентирована в первую очередь на школьников 6–9 классов. В неё вошли разработки шести занятий математического кружка, а также более 50 дополнительных задач разной сложности. Первые три занятия рассчитаны на начинающих школьников, следующие три — на более подготовленных. Брошюра адресована руководителям математических кружков и школьным учителям математики. Надеемся, что она будет интересна школьникам, их родителям, а также всем любителям математики, видящим её не только в учебниках, но и в спорте, а также в других проявлениях окружающей нас жизни.

Скачать Демо-версию книги (pdf)


Купить электронную версию книги на ЛитРес

Видеопредставление книги на youtube (16 мин)


ЛИСТКИ

1. Восстанови результаты
2. Простейшие факты о турнирах
3. Примеры и контрпримеры
4. Алгебра турниров
5. Турниры, графы и комбинаторика
6. Проигравший вылетает


Предисловие

Задачи о спортивных соревнованиях регулярно появляются на математических олимпиадах. Двое из авторов этой брошюры попытались собрать наиболее интересные и характерные задачи такого содержания в брошюре "Математика турниров", изданной в 2009 г. (см. список литературы в конце введения.) Данное издание пересекается с ней по содержанию, но имеет другую цель: авторы предназначают его для использования в математических кружках, рассчитывая на достаточно широкий контингент школьников.

Предлагаемые задачи могут составлять темы отдельных занятий или использоваться в рамках других тем, например таких, как "Графы", "Принцип Дирихле", "Суммирование двумя способами", и др. Здесь может принести пользу указатель задач по темам в конце брошюры.

Мелким шрифтом набраны пояснения для руководителя занятия. Основной материал разбит на 6 занятий. Их можно ставить подряд или вразбивку, между занятиями другого содержания (или, скажем, дать два занятия по турнирам подряд, а остальные вразбивку). Это может способствовать поддержанию интереса к теме турниров. В большинстве случаев задачи разных занятий решаются независимо друг от друга, поэтому порядок занятий в принципе можно менять.

Номер задачи состоит из номера занятия и номера задачи в занятии, разделённых точкой. В каждом занятии вначале идут задачи, рекомендуемые для решения и разбора непосредственно на кружке, причём после каждой из них приводится ответ и решение, а нередко также комментарии к методу решения. Далее идут задачи для самостоятельного решения. Ответы и решения к ним приводятся после списка этих задач. Отдельный раздел содержит дополнительные задачи. После каждого занятия приведён список дополнительных задач, которые можно добавить к материалу занятия. С другой стороны, часть задач можно при необходимости снять. Главное не количество решённых задач, а усвоение идей и приёмов, лежащих в основе решения.

В конце брошюры приведён раздаточный материал, который состоит из задач каждого занятия на отдельных листках.

Дальнейшие сведения по математике турниров можно найти в литературе, указанной в конце предисловия.

Задачи о турнирах, как правило, наглядны по формулировке, и их решение требует сообразительности, а не каких-то специальных знаний. Поэтому мы не указываем класс школы, для которого предназначена та или иная задача. Простейшие из них заведомо доступны начиная с 5 класса.

Занятие 1 ориентировано преимущественно на 5-7 классы, а занятие 4 на старшие классы. Задачи с произвольным числом участников, партий и т.п. можно давать и с конкретными числами, в особенности в младших классах, где очень существенна наглядность формулировки.

На первом занятии нужно напомнить простейшие понятия, связанные с турнирами: турнирная таблица, системы организации турниров и начисления очков.

Турнир – это в принципе любое соревнование, где количество участников больше двух. Содержание турнира может быть самым разным: футбол, шахматы, решение математических задач и т.д. Для нас сейчас важно другое: схема организации турнира и подсчёта очков.

Широко распространены однокруговые турниры, когда каждый участник встречается с каждым один раз – играет с ним один матч (партию). О таких турнирах чаще всего и идёт речь в этой книжке. Бывают и многокруговые турниры, когда каждая пара участников встречается несколько раз. Чаще всего за выигранную партию начисляется 1 очко, за ничью пол-очка, за проигрыш 0 (шахматная система подсчёта очков). Такая система обычно подразумевается в дальнейшем. В некоторых видах соревнований за победу начисляется 2 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. А в футболе за выигрыш начисляется 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Турниры по "большому" и настольному теннису, а также волейболу имеют ту специфику, что в них невозможны ничьи. Бывают и другие схемы организации турниров. В частности, при кубковой, или олимпийской системе (см. занятие 6) турнир состоит из нескольких туров, в каждом из которых участники проводят по одной встрече и проигравший "вылетает" (если в туре участвует нечётное число спортсменов, то один из них по жребию "отдыхает" и проходит в следующий тур).

Сумма очков, набранных спортсменом во всех партиях, является его результатом. Отдельную партию называют результативной, если она закончилась победой одного из участников, и ничейной в противном случае.

Итоги турнира оформляются в виде турнирной таблицы. Каждая её строка и каждый столбец соответствует одному из игроков (участников турнира). На пересечении какой-либо строки А и столбца Б стоит результат встречи игрока А с игроком Б. (В некоторых задачах вы увидите и другие таблицы, где, например, указано количество забитых и пропущенных мячей.)

Перечисленные термины дальше употребляются, как правило, без пояснения.


Использованная литература

    1. Блинков А.Д., Горская Е.С., Гуровиц В.М. (составители). Московские математические регаты. – М.: МЦНМО. 2007.
    2. Гуровиц В.М., Ховрина В.В. Графы (изд. 2-е, исправленное). – М.: МЦНМО, 2011.
    3. Заславский А.А., Френкин Б.Р. Математика турниров. – М.: МЦНМО. 2009.
    4. Медников Л.Э. Чётность. – М.: МЦНМО. 2009.
    5. Медников Л.Э., Шаповалов А.В. Турнир городов: мир математики в задачах. – М.: МЦНМО. 2012.
    6. Толпыго А.К. Тысяча задач международного математического Турнира городов (2-е издание, дополненное). – М.: МЦНМО. 2010.
    7. Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993 – 2005 г. (2-е издание, исправленное и дополненное). М.: МЦНМО. 2008.
    8. Шаповалов А.В. Как построить пример? – М.: МЦНМО. 2013.
    9. Шаповалов А.В. Принцип узких мест (изд. 3-е, дополненное). – М.: МЦНМО. 2012.
    10. Шаповалов А.В., Медников Л.Э. XVII Турнир математических боёв им. А.П.Савина. – М.: МЦНМО. 2012.

    Использованы также материалы турниров им. А.П.Савина прошлых лет и задачи с различных соревнований школьников, опубликованные в интернете, – см., например,
    Московская математическая олимпиада
    Турнир городов
    Московская математическая регата.

Авторы благодарны А.Д.Блинкову за дополнительный материал и ценные замечания, позволившие значительно улучшить брошюру.


Указатель задач по темам

Графы: 3.1, 5.1, 5.2, 5.10, 5.11, Д38, Д50, Д51, Д52.
Двусторонняя оценка: 1.1, 1.6, 1.7, 1.9, 1.11, 2.4, 4.7, 4.8, 6.4, Д1, Д2, Д6, Д7, Д13, Д19, Д22, Д28, Д29, Д41, Д43.
Делимость и остатки: 1.6, 2.6, 4.2, 6.5, Д7, Д23, Д25, Д42.
Индукция: 2.5, 3.3, 3.11, 5.1, 5.2, 5.10, 5.9, 5.11, 6.8, 6.9, Д26, Д48.
Как такое может быть?: 3.1, 3.8, 3.9, 6.3.
Оценка+пример: 1.6, 2.1, 3.4, 3.5, 3.9, 3.10, 3.11, 4.4, 4.9, 6.7, 6.9, Д14, Д20, Д24, Д28, Д29, Д31, Д32, Д36, Д42, Д44, Д45, Д46.
Подсчёт двумя способами: 1.5, 2.2б), 2.7, 3.3а), 3.8, 3.9, 4.6, 4.11, Д4, Д39, Д40, Д51.
Подсчёт по группам: 1.7, 3.1, 4.1, 4.4, 4.5, 4.7, 6.7, Д6, Д9, Д17, Д18, Д19, Д22, Д27, Д28, Д30, Д31, Д32, Д33, Д35, Д37, Д45, Д47, Д48, Д52.
Постепенное усложнение: 2.1б), 2.8, 2.9, 3.4, 3.8в), 3.10, 4.9, 6.3, Д10, Д11, Д32.
Принцип Дирихле: 2.3, 2.5, 5.3, 5.5, 6.2, Д41, Д44, Д47, Д50.
Принцип крайнего: 1.1, 1.2, 1.6, 1.9, 1.10, 1.11, 2.3, 2.4, 4.4, 3.11, 4.9, 4.10, 5.4, 5.11, 6.10, 6.11, Д2, Д6, Д17, Д20, Д21, Д28, Д33, Д44.
Принцип узких мест: 1.1, 1.3, 1.6, 1.8, 3.6, 5.7, 5.8, 6.7, Д2, Д3, Д5, Д6, Д8, Д9, Д14, Д16, Д34, Д36, Д41, Д48, Д50, Д51.
Соответствие: 1.3, 1.4, 2.9, 2.10а), 2.11, 3.1, 3.2, 3.5, 3.7, 4.2, 4.3, 5.4, 6.6. 102
Средние: 2.4, 4.4, 4.10, 4.11, Д12, Д18.
Футбольная система подсчёта очков: 1.8, 1.9, 2.1б), 2.9в), 2.10б), 3.4б), 3.8, 3.10, Д13, Д14, Д15, Д17, Д20, Д28, Д29, Д30, Д31, Д32, Д42, Д43, Д44, Д45, Д46.
Чередование: 3.3б), 3.5, 6.4, 6.5, Д37, Д49.
Чётность: 1.2, 1.10, 2.2, 3.2, 3.3, 4.8, 4.9, 5.2, 5.3, 5.9, Д2, Д14, Д19, Д25, Д37.

Авторы задач

Большинство использованных в книге задач давно и заслуженно стали математическим фольклором или восходят к нему. Их обычно публикуют без указания авторов. Это, однако, не повод умалчивать об авторах, когда они известны. Проще всего узнать свои собственные задачи, тем более, что кое-какие из них были специально придуманы для этой книги. Других задач с известным автором не так много, но зато почти все – яркие. Спасибо этим авторам, а также тем неизвестным, кто сочинил фольклорные жемчужины!
А. Блинков: 1.8, 3.4б), 3.6, Д5, Д31
А. Грибалко: 3.5
Р. Женодаров: Д20
А. Заславский: 3.4, 3.8, 3.10, Д7, Д17, Д31, Д43, Д47б).
Ю. Лифшиц: 5.3
В. Произволов: 1.11
И. Сергеев: 5.4
С. Токарев: 3.5
Б. Френкин: 4.11, 5.5, 5.9, 6.1, 6.2, 6.10, Д21, Д25, Д35, Д39, Д40, Д41.
А. Храбров: Д20
А. Шаповалов: 1.6, 1.9, 1.10, 3.3a), 6.6б), 6.7, 6.9, 6.11, Д2, Д9, Д36, Д47.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Занятие 1. Восстанови результаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Занятие 2. Простейшие факты о турнирах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Занятие 3. Примеры и контрпримеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Занятие 4. Алгебра турниров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Занятие 5. Турниры, графы и комбинаторика. . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

Занятие 6. Проигравший вылетает . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Дополнительные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Ответы, указания, решения к дополнительным задачам. . . . .. . . .68

Раздаточный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

Указатель задач по темам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Авторы задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103