А.В.Шаповалов => Занятия и кружки => Кировская ЛМШ

Группа "Профи-7", 2000 г.

Это была яркая группа. Тон задавали харьковчане и сплоченная пятёрка кировчан (они только что победили на турнире им. Савина), да ещё Дима Пермяков из Снежинска (он и харьковчанин Саша Цимбалюк через 4 года прошли на межнар).
Пришлось поддерживать высокий темп. Именно в занятия этого сезона я чаще всего с тех пор и заглядываю.
Моим ассистентом был Саша Лузгарёв, но сотрудничали мы и с другими группами параллели. А команда была отличная - Слава Мищенко, Витя Крупчицкий, Лёня Самойлов (это был его первый сезон в ЛМШ).

Графы-1

Задачи на минимальное число рёбер в связном графе и лемму о рукопожатиях. Но самая главная идея, конечно – это идея схемы: надо суметь увидеть граф и нарисовать его!

Разрезания-1

Разрезание фигур на части. Целый пучок идей, связанных как с конструкциями: принцип узких мест, постепенное конструирование, индукция, - так и с невозможностью: соответствие, инвариант.

Делимость и остатки-1

Надо показать, что делимость и остатки возникают из идеи повтороений по циклу, в частности, из календаря. К остаткам и их сложению удобно приучать на примере последней цифры числа.

Разрезания-2: Теорема Пифагора

Одно из самых известных доказательств теоремы Пифагора состоит в перекладывании частей квадрата. В этом занятии все разрезания и складывания так или иначе связаны с этой теоремой. Это позволяет плавно перейти от разрезаний-головоломок к классической геометрии.

Графы-2: определения, лемма о рукопожатиях, связность

Даны явные определения и приведен богатый список примеров графов, покрывающий большинство задач для начинающих. Большинство кружковцев не догадываются применить факты о графах к шахматной доске, а это просто: вершины клетки, рёбра – ходы той или иной фигуры.

Геометрические неравенства

Почти все геометрические неравенства выводятся из неравенства треугольника и того, что в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Делимость, остатки-2

Арифметика остатков. Связь остатков числа и суммы его цифр.

Индукция (ликбез)

Это не полноценное занятие, а набор задач для тех, кто почему-либо к данному моменту про индукцию мало чего знал.

Графы-3

Деревья. Число рёбер в связном графе и в дереве.

Площади

Геометрия как наука начиналась с измерения площадей. И в преподавании стоит начинать с этого. Обратите внимание на изобилие идей в задачах!

Геометрические неравенства-2

Вычислений все ещё не требуется, но полезно делать дополнительные построения и выстраивать цепочки неравенств.

Теория чисел: основная теорема арифметики. НОД и НОК.

Цикл задач, позволяющий строго доказать теорему о единственности разложения числа на простые множители.

Формула Пика

Красивая формула о площади многоугольников с вершинами в узлах сетки. Повторяем площади и показываем школьником поучительный пример многоступенчатого доказательства.

Теорема Бояйи-Гервина

Если многоугольники равновелики, то один из них можно разрезать на части и сложить другой!

Двудольные графы

Двудольный граф даёт чередование цветов, и гарантирует равенство цветов на замкнутом маршруте и отличие не более чем на 1 на незамкнутом.

Геометрическое место точек (ГМТ)

Задачи на ГМТ соединяют построение конструкций с умением доказывать. А умение видеть ГМТ позволяет в дальнейшем видеть суть геометрических задач и помогает искать решения.

Комбинаторика: основные формулы

Классическая комбинаторика: формулы для числа размещений, сочетаний, перестановок. Ну и, конечно, моя любимая убывающая степень.

Счастливые билеты

Приложение формул комбинаторики: два способа посчитать количество счастливых билетов.

Построения циркулем и линейкой

Задачи на построение тоже соединяют построение конструкций с умением доказывать. Такие "двустворчатые" задачи повышают достоверность математики в глазах школьников.

Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты

Из формулы бинома выводится много красивых следствий, в том числе и о делимости. Удивительно, но формула бинома верна и для убывающих степеней!

Игры на графах

Конспект лекционного занятия. Обсудили построение дерева игры и существование стратегии для игр на графах.

Площади и отношения. Ослабление условий.

Рассматривая отношения площадей, можно доказать теорему Фалеса, не переходя к пределу. Ослабление условий позволяет строить сначала неполноценную конструкцию, а потом на её основе - то, что требуется. Частный случай метода - метод подобия в задачах на построение.

Эйлеровы пути и обходы

Несложен критерий существования пути или обхода графа, проходящий по каждому ребру графа ровно раз. Неожиданно то, что из критерия бывают нетривиальные следствия.

Король и ладья

Клетки шахматной доски n× n раскрашены в синий и желтый цвета. Тогда либо ладья может пройти по синим клеткам с нижнего края на верхний, либо король может пройти с левого края на правый по желтым клеткам (то есть из двух возможностей всегда есть ровно одна!)

Принцип узких мест. Подсчёт углов

Построение сложной конструкции выгоднее начинать с того места, где свобода минимальная. Например, с угла.

Китайская теорема об остатках

Функция Эйлера, формула включения-исключения и китайская теорема перетекают друг в друга.

ПРОГРАММА ЗАЧЁТА

В конце сезона всегда случается зачёт...

КНИЖЕЧКА Профи-7

Все листочки, а также вступительная и заключительная олимпиада, все матбои и аукцион (игра).