А.В.Шаповалов -->Занятия и кружки -->Сириус

Образовательный центр "Сириус"
Смена региональных математических школ и центров по работе с одаренными школьниками, 1-24 сентября 2017 г.


Леша Ламтюгин, Аня Липатова, я, Жанна Зосимова и Рустам Гафаров на фоне аудитории им. Курчатова.

Подробнее о преподавателях группы 7A

Смена организована Л.М.Самойловым и О.С.Нечаевой. Я веду занятия в группе 7А. Мне помогают Аня Липатова и Жанна Зосимова. На группе 7Б Лёше Ламтюгину помогает Рустам Гафуров.
Вот листки занятий группы 7А.
Попытался впервые выстроить линию "Индукция без униформы". Семиклассники не понимают бесконечности и букв с индексами. Поэтому "доказательство для всех n в два шага: база и переход" для них обман или условность, суть доказательства скрыта, как его строить - непонятно, верные доказательства от неверных не отличаются. На самом деле, индукция - это выстраивание лесенки-мостика от Дано к Надо-доказать или Надо-построить. Чтобы школьник понял, надо его заставить честно строить конечную индуктивную цепочку, видеть её со всех сторон, строить с конца и сначала, строить с разветвлениями и опорой на несколько предыдущих этажей, и только потом, когда он будет видеть структуру и особенности цепочки за "многоточиями и ИТД" и почувствует потребность записывать её короче, показать, как это оформлять. Приучение к таким построениям надо начинать издалека и вести не спеша, совмещая с обучением более конкретным навыкам. Мне понадобилось 9 листков. Они выделены цветом и пронумерованы. Пояснения в скобках - для учителя в скобках, школьникам эти слова не говорились.

Как такое может быть?

1 сентября

Листок:
doc    pdf

Настройтесь на то, что описанная ситуация возможно и примените все средства - подсчеты, принцип узких мест и т.п. - чтобы определить, как такое может быть.

Тест

1 сентября

Листок:
doc    pdf

Проверка предварительных навыков и умений. 7 задач на ответ и 3 на доказательство.

Разрезания, клетки, подсчёты

1 сентября

Листок:
doc    pdf

Если поиск разрезания начать с подсчёта, перебирать нужно меньше, или даже можно обойтись без перебора.

Следствия и контрпримеры

2 сентября

Листок:
doc    pdf

Чтобы опровергнуть, хватит контрпримера. Чтобы доказать, необходимо рассуждение.
При вопросе "Обязательно ли?" если не обязательно, хватит контрпримера. Если обязательно, нужно рассуждение.
Прежде чем долго доказывать лемму, проверьте, нельзя ли её быстро опровергнуть контрпримером.

Конструкции с повторами

2 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-1.
Большую конструкцию легче строить из одинаковых деталей (а индуктивную цепочку - из однотипных шагов). Когда есть выбор, делайте как можно больше деталей одинаковыми. А если детали заданы разными, их удобно объединять в одинаковые блоки. Не забудьте проверить, что детали и блоки подходят друг к к другу.

Числовые закономерности. Арифметическая прогрессия.

3 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-2.
Закономерность ряда чисел часто находят, сравнивая соседние члены (а в индуктивной цепочке сравнивают соседние утверждения). У арифметической прогрессии разность d постоянна, поэтому k-й и n-й члены отличаются на (k-n)d.

Узкие места

3 сентября

Листок:
doc    pdf

В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами.

Серийные примеры

4 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-3.
(При индуктивном построении примеры возникают сериями.) Когда искомый пример не одинок, а входит в серию, выгодно сначала построить первые члены серии. Для них обычно хватает короткого перебора. Два-три малых примера либо подскажут структуру искомого большого примера, либо способ, как из меньшего примера построить больший (тренируемся делать шаг индукции).

Уравнение за кадром

4 сентября

Листок:
doc    pdf

Важнее правильно составить уравнение, чем его решить.Основной приём: принять что-то (например, то, что нужно узнать) за неизвестное, последовательно выразить через него все неизвестные величины. То, что выразилось двумя способами, приравнять.
Ситуация может задаваться большим количеством чисел. Если ясно, что все их не найдешь, можно не вводить лишних букв для таких неизвестных, а искать связи между суммами в группах, и брать за неизвестные эти суммы.

Инвариант шаг за шагом

5 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-4.
(Изучаем не просто инвариант, а инвариант пошагового процесса.) Чаще процесс ветвится: на каждом шаге есть выбор. Здесь значение инварианта одинаково для начальной точки процесса и для всех точек, до которых можно дойти указанными шагами. (Фактически, доказательство свойства движением по индуктивной цепочке - просто и наглядно.) А вот до точек с другим значением инварианта дойти нельзя.

Точки и прямые

5 сентября

Листок:
doc    pdf

Если прямая не содержит ни одну из сторон выпуклого многоугольника, то она пересекает его границу не более, чем в двух точках.

Клеим пазл

7 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-5.
(Параметр индукции надо уметь выбрать, а процесс доказательства по индукции - запустить.) Представим сложный объект как пазл, разобьём его на кусочки, а потом запустим процесс сборки. Следя шаг за шагом за числом склеек и кусков, получим нужное равенство или оценку (Инвариантное утверждение, формулировка которого зависит от параметров шага, а доказательство - пошаговое, то есть индуктивное).

Делимость и остатки

7 сентября
Составила и вела А.Липатова

Листок:
doc    pdf

Признаки равноостаточности.

Ослабление условий

8 сентября

Листок:
doc    pdf

Если конструкцию сложно придумать из-за слишком жестких условий, то можно сначала от части условий отказаться или их ослабить, построить заготовку с оставшимися условиями, а потом её доработать.

Группируй и считай

8 сентября

Листок:
doc    pdf

А если слагаемые разные? Попробуйте разбить их на группы с одинаковыми суммами. Если это получится, то трудность подсчета перестанет зависеть от количество слагаемых. Надо только найти, сколько групп получилось.
Бывает выгодно разбить слагаемые на две группы, и сосчитать каждую группу своим способом. Или добавить группу слагаемых, сосчитать, а потом от результата отнять добавленное.

Тратим ресурс

9 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-6.
С позициями, которые мы проходим в процессе, может быть связано число, которое на каждом шаге не увеличивается (снова шаг индукции!). Следя за расходом этого «ресурса», можно оценивать число шагов. Ресурс вычисляется из чисел, связанных позицией, например, из координат.

Неклетчатые разрезания

9 сентября

Листок:
doc    pdf

Собраны задачи на разрезания, использующие только знания 6 класса: измерение углов, отличия остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Осваиваем счет углов, устанавливаем соответствие между вершинами и между сторонами, повторяем принцип узких мест.

Периметры прямоугольников

10 сентября

Листок:
doc    pdf

При разрезании сумма периметров возрастает на удвоенную длину соприкосновений. Разгадав структуру взаимного расположения прямоугольных частей, можно правильно составить уравнения. Уравнения помогают даже в разрезаниях по клеткам.

Пошаговое конструирование

12 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-7.
Многоэтажные здания строят, ставя по очереди следующий этаж на предыдущий. Начав с двухэтажного коттеджа, можно построить 100-этажный небоскрёб. То же с серийными примерами: их получают последовательно, сравнивая с предыдущими и достраивая по мере необходимости. (Индуктивное доказательство надо строить как конструкцию, а учиться лучше на наглядных конструкциях).

Десятичная запись

12 сентября
Составили А.Липатова и я

Листок:
doc    pdf

Десятичная запись поможет составить уравнение. При решении учитываем делимость, ограничиваем значения и делаем перебор.

Длинные числа

13 сентября

Листок:
doc    pdf

При работе со 100-значными числами учитываем повторение одинаковых кусков, игнорируем несущественные части и используем алгебраическое представление через степени 10.

Учти лишнее

13 сентября

Листок:
doc    pdf

При вычислении сумм можем сосчитать и лишнее, но потом учтём его за счет вычитания или деления.

Вокруг остатки

14 сентября
Составила и вела Ж.Зосимова

Листок:
doc    pdf

Принцип Дирихле при работе с остатками. Остатки квадратов.

Комбинаторика: кодировка

14 сентября

Листок:
doc    pdf

Стандартные комбинаторные объекты: слова с повторениями, слова без повторений и перестановки. Нумерация объектов словами.

Игра на опережение

15 сентября

Листок:
doc    pdf

Выигрывает тот, кто раньше займет ключевое положение или успеет выполнить ключевые действия. После этого, как правило, работает парная стратегия.

Внутренний матбой

15 сентября

Листок:
doc    pdf

8 задач. Не решена задача 6. Проверка корректности на задачах 2 и 3.

Телескопические суммы

17 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-8.
Чтобы сосчитать сумму, заменим каждое слагаемое на разность и взаимно уничтожим почти все новые слагаемые. (Телескопические суммы делают индуктивное доказательства формул сумм наглядным, явно выписывая приращение на каждом шаге как разность и затем картинно взаимно-уничтожая слагаемые).

Индуктивное построение: спуск к нужной ступеньке

18 сентября

Листок:
doc    pdf

Индукция без униформы-9.
Индуктивное построение похоже на подъем по лестнице шаг за шагом. А если влезаешь по ветвящемуся дереву? Надежнее строить лесенку сверху вниз. Смотрим на нужный объект и ищем, с каким нижним он связан или из какого нижнего его можно получить добавкой. А от найденного спускаем ещё одну ступеньку вниз, и так пока не упрёмся во что-то твёрдое. (Мы уже изучаем сложную индукцию, а формализация нам так и не понадобилась!)

Комбинаторика остатков

18 сентября
Составила и вела Ж.Зосимова

Листок:
doc    pdf

Принцип Дирихле при работе с остатками. Остатки квадратов. Повторение и детализация темы листка от 14 сентября.

Посредники в неравенствах

19 сентября

Листок:
doc    pdf

Чтобы доказать неравенство U > V , можно подбрать лежащего между ними посредника, с которым каждую из величин удобно сравнивать: скажем, такое W, что U > W > V или U = W > V.

Соответствие

19 сентября

Листок:
doc    pdf

При подсчетах в комбинаторике может оказаться удобнее вместо одного множества подсчитывать другое, в котором столько же элементов. Равенство размеров множеств устанавливается с помощью соответствия.

Игры и алгоритмы

20 сентября
Составил и вел М.Евдокимов

Листок:
doc    pdf

Занятие-презентацию по материалам журнала "Квантик" провёл его сотрудник Михаил Александрович Евдокимов.

Задачи на движение

20 сентября
Составила и вела Ж.Зосимова

Листок:
doc    pdf

Традиционные задачи на движение, почти без кругового и относительного движения.

Средние

20 сентября

Листок:
doc    pdf

Использование среднего арифметического помогает заменить сложение умножением, ведь сумма равна произведению среднего на число слагаемых. А далее надо просто считать суммы и внимательно следить за количеством слагаемых.

Теоретические вопросы

21 сентября

Листок:
doc    pdf

Хотя курс был посвящён в основном тренировке практических навыков, для зачёта удалось вычленить 15 вопросов "теоретического" характера: формулы сумм, несколько теорем и неравенства-оценки.