А.В.Шаповалов -->Занятия и кружки -->Сириус

Образовательный центр "Сириус"
Смена региональных математических школ и центров по работе с одаренными школьниками, 1-24 сентября 2017 г.


Леша Ламтюгин, Аня Липатова, я, Жанна Зосимова и Рустам Гафуров на фоне аудитории им. Курчатова.

Смена организована Л.М.Самойловым и О.С.Нечаевой. Я веду занятия в группе 7А. Мне помогают Аня Липатова и Жанна Зосимова. На группе 7Б Леше Ламтюгину помогант Рустам Гафуров.
Вот листки занятий группы 7А.

Как такое может быть?

1 сентября

Листок:
doc    pdf

Настройтесь на то, что описанная ситуация возможно и примените все средства - подсчеты, принцип узких мест и т.п. - чтобы определить, как такое может быть.

Тест

1 сентября

Листок:
doc    pdf

Проверка предварительных навыков и умений. 7 задач на ответ и 3 на доказательство.

Разрезания, клетки, подсчёты

1 сентября

Листок:
doc    pdf

Если поиск разрезания начать с подсчёта, перебирать нужно меньше, или даже можно обойтись без перебора.

Следствия и контрпримеры

2 сентября

Листок:
doc    pdf

Чтобы опровергнуть, хватит контрпримера. Чтобы доказать, необходимо рассуждение.
При вопросе "Обязательно ли?" если не обязательно, хватит контрпримера. Если обязательно, нужно рассуждение.
Прежде чем долго доказывать лемму, проверьте, нельзя ли её быстро опровергнуть контрпримером.

Конструкции с повторами

2 сентября

Листок:
doc    pdf

Большие конструкции легче строить из одинаковых деталей. Когда есть выбор, делайте как можно больше деталей одинаковыми. А если детали заданы разными, их удобно объединять в одинаковые блоки. Не забудьте проверить, что детали и блоки подходят друг к к другу.

Числовые закономерности. Арифметическая прогрессия.

3 сентября

Листок:
doc    pdf

Закономерность ряда чисел часто находят, сравнивая соседние члены. У арифметической прогрессии разность d постоянна, поэтому k-й и n-й члены отличаются на (k-n)d.

Узкие места

3 сентября

Листок:
doc    pdf

В задачах, где строят и исследуют конструкции, зацепкой к решению часто служит та часть конструкции, где свобода выбора – наименьшая. Такие места служат препятствиями к построению конструкции, или кажутся таковыми. Именно их мы и назовем узкими местами.

Серийные примеры

4 сентября

Листок:
doc    pdf

Когда искомый пример не одинок, а входит в серию, выгодно сначала построить первые члены серии. Для них обычно хватает короткого перебора. Два-три малых примера либо подскажут структуру искомого большого примера, либо способ, как из меньшего примера построить больший.

Уравнение за кадром

4 сентября

Листок:
doc    pdf

Важнее правильно составить уравнение, чем его решить.Основной приём: принять что-то (например, то, что нужно узнать) за неизвестное, последовательно выразить через него все неизвестные величины. То, что выразилось двумя способами, приравнять.
Ситуация может задаваться большим количеством чисел. Если ясно, что все их не найдешь, можно не вводить лишних букв для таких неизвестных, а искать связи между суммами в группах, и брать за неизвестные эти суммы.

Инвариант шаг за шагом

5 сентября

Листок:
doc    pdf

Чаще процесс ветвится: на каждом шаге есть выбор. Здесь значение инварианта одинаково для начальной точки процесса и для всех точек, до которых можно дойти указанными шагами. А вот до точек с другим значением инварианта дойти нельзя.

Точки и прямые

5 сентября

Листок:
doc    pdf

Если прямая не содержит ни одну из сторон выпуклого многоугольника, то она пересекает его границу не более, чем в двух точках.

Клеим пазл

7 сентября

Листок:
doc    pdf

Представим сложный объект как пазл, разобьём его на кусочки, а потом запустим процесс сборки. Следя за за числом склеек и кусков, получим нужную оценку.

Делимость и остатки

7 сентября
Составила и вела А.Липатова

Листок:
doc    pdf

Признаки равноостаточности.

Ослабление условий

8 сентября

Листок:
doc    pdf

Если конструкцию сложно придумать из-за слишком жестких условий, то можно сначала от части условий отказаться или их ослабить, построить заготовку с оставшимися условиями, а потом её доработать.

Группируй и считай

8 сентября

Листок:
doc    pdf

А если слагаемые разные? Попробуйте разбить их на группы с одинаковыми суммами. Если это получится, то трудность подсчета перестанет зависеть от количество слагаемых. Надо только найти, сколько групп получилось.
Бывает выгодно разбить слагаемые на две группы, и сосчитать каждую группу своим способом. Или добавить группу слагаемых, сосчитать, а потом от результата отнять добавленное.

Тратим ресурс

9 сентября

Листок:
doc    pdf

С позициями, которые мы проходим в процессе, может быть связано число, которое на каждом шаге не увеличивается. Следя за расходом этого «ресурса», можно оценивать число шагов. Ресурс вычисляется из чисел, связанных позицией, например, из координат.

Неклетчатые разрезания

9 сентября

Листок:
doc    pdf

Собраны задачи на разрезания, использующие только знания 6 класса: измерение углов, отличия остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Осваиваем счет углов, устанавливаем соответствие между вершинами и между сторонами, повторяем принцип узких мест.

Периметры прямоугольников

10 сентября

Листок:
doc    pdf

При разрезании сумма периметров возрастает на удвоенную длину соприкосновений. Разгадав структуру взаимного расположения прямоугольных частей, можно правильно составить уравнения. Уравнения помогают даже в разрезаниях по клеткам.

Пошаговое конструирование

12 сентября

Листок:
doc    pdf

Многоэтажные здания строят, ставя по очереди следующий этаж на предыдущий. Начав с двухэтажного коттеджа, можно построить 100-этажный небоскрёб. То же с серийными примерами: их получают последовательно, сравнивая с предыдущими и достраивая по мере необходимости.

Десятичная запись

12 сентября
Составили А.Липатова и я

Листок:
doc    pdf

Десятичная запись поможет составить уравнение. При решении учитываем делимость, ограничиваем значения и делаем перебор.

Длинные числа

13 сентября

Листок:
doc    pdf

При работе со 100-значными числами учитываем повторение одинаковых кусков, игнорируем несущественные части и используем алгебраическое представление через степени 10..

Учти лишнее

13 сентября

Листок:
doc    pdf

При вычислении сумм можем сосчитать и лишнее, но потом учтём его за счет вычитания или деления.

Вокруг остатки

14 сентября
Составила и вела Ж.Зосимова

Листок:
doc    pdf

Принцип Дирихле при работе с остатками. Остатки квадратов.

Комбинаторика: кодировка

14 сентября

Листок:
doc    pdf

Стандартные комбинаторные объекты: слова с повторениями, слова без повторений и перестановки. Нумерация объектов словами.

Игра на опережение

15 сентября

Листок:
doc    pdf

Выигрывает тот, кто раньше займет ключевое положение или успеет выполнить ключевые действия. После этого, как правило, работает парная стратегия.

Внутренний матбой

15 сентября

Листок:
doc    pdf

8 задач. Не решена задача 6. Проверка корректности на задачах 2 и 3.

Телескопические суммы

17 сентября

Листок:
doc    pdf

Чтобы сосчитать сумму, заменим каждое слагаемое на разность и взаимно уничтожим почти все новые слагаемые.

Индуктивное построение: спуск к нужной ступеньке

18 сентября

Листок:
doc    pdf

Индуктивное построение похоже на подъем по лестнице шаг за шагом. А если влезаешь по ветвящемуся дереву? Надежнее строить лесенку сверху вниз. Смотрим на нужный объект и ищем, с каким нижним он связан или из какого нижнего его можно получить добавкой. А от найденного спускаем ещё одну ступеньку вниз, и так пока не упрёмся во что-то твёрдое.

Комбинаторика остатков

18 сентября
Составила и вела Ж.Зосимова

Листок:
doc    pdf

Принцип Дирихле при работе с остатками. Остатки квадратов. Повторение и детализация темы листка от 14 сентября.