А.В.Шаповалов

Задачи и тематические подборки

Задачи рождаются чаще сами собой, от вдруг возникшего вопроса: а что будет, если...(подробнее об этом см. лекцию). Впрочем, на соревнованиях приходится сочинять и по заказу. Выпорхнув, задачи продолжают жить самостоятельной жизнью: их включают в занятия, перелицовывают, переводят на другие языки и обратно, сочиняют другие задачи по их мотивам, по ним затеваются обсуждения, пишутся популярные и даже научные статьи. А некоторые задачи незаслуженно забываются, о них хочется напомнить.
Есть задачи, которые лучше смотрятся не сами по себе, а в коллективе: в подборках, объединенных идеей или темой. По подборкам хорошо проводить занятия. В составленных подборках большинство задач, конечно, не мои, но и моих довольно много: ведь своё в нужный момент лучше вспоминается.

Задачи со статусом

Задачи, удостоившиеся статей или обсуждений.

Хромая ладья обошла всю шахматную доску по замкнутому маршруту, побывав на каждой клетке ровно по разу. Докажите, что число ходов по горизонтали не равно числу ходов по вертикали.

Задача недели

Расставьте числа 1, 2, ..., 8 в клетках фигуры так, чтобы при любом разрезании фигуры на две части сумма в одной из частей делилась на сумму в другой? (Резать можно только по границам клеток.)

На problems.ru

Единичный квадрат разрезан на n треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной 1/n.

Алгоритмы «втёмную»

Трудно найти чёрную кошку в тёмной комнате. Если увидеть её нельзя, то мы узнаем, где она, только когда найдём. Есть задачи на поиск, когда о результатах наших действий мы узнаём, только достигнув результата. Бывает и хуже: мы и это не узнаём, но должны гарантировать, что результат достигнут.

Геометрия

Чаще всего получаются задачи по комбинаторной геометрии: именно в ней формулировки в наименьшей степени подсказывают решения...

Переправы и перестановки

Просто переправы

Наши переправы

Перестановки

Переправы в Квантике

Занятие на переправы

Все знают задачу про перевозку волка, козы и капусты или игру "15". В сети есть подборки, однако все они копируют или слегка варьируют одну и ту же дюжину задач. Но я придумал уже втрое больше. Вот самая свежая:

К реке одновременно подошли два вора: к правому берегу – вор с одним баулом, к левому – с тремя. Обоим нужно на противоположный берег. Нельзя допускать, чтобы кто-нибудь оказался на берегу один с большим числом баулов, чем у него было изначально (тогда он скроется с этими баулами). У левого берега есть двухместная лодка (вмещает двух человек или человека и баул). Как им обоим переправиться, сохранив свои баулы?

Логика

Школьники младших классов любят логические задачи, поэтому в варианты олимпиад и турниров для младших такие задачи всегда требуются. Пришлось придумывать. Все же старался разнообразить, если не математическое содержание, то хотя бы сюжет... Вот вам десяток самых легких задач.

Непрерывная логика: doc     pdf

В этих задачах есть дискретный набор объектов (обычно конечный) с непрерывными характеристиками.

Игры: doc     pdf

Большинство игр решаются с помощью соответствия, анализа с конца и передачи хода. Среди моих задач на игры не менее часто встречаются игры-шутки, накопление и опережение.

Последовательности

С последовательностями школьники впервые сталкиваются в виде длинных сумм и арифметических прогрессий. Хотя формально прогрессии входят в школьную программу старших классов, на кружках они появляются в начале изучения алгебры - и усваиваются легко! Задачи на эту тему регулярно встречаются уже на соревнованиях 7-9 классов. Вот вам пятерка сравнительно лёгких моих задач:

Летние конференции Турнира городов

Если придумываешь не задачу, а ситуацию – легко получается задача из многих пунктов, с которой интересно повозиться недельку...